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Laboratoire Pierre Aigrain

Accueil du site > La recherche au L.P.A. > Propriétés optiques et électroniques des nano-objets > Optique cohérente et non linéaire > Nanotubes de carbone > Théorie > Electronic structure

Structure électronique

Un nanotube est une feuille de graphène 2D enroulée sur elle-même. Comme on peut le voir sur la figure ci-dessous, il suffit de se donner le vecteur \vec{C_h} , appelé vecteur chiral, pour définir la géométrie d’un nanotube. Ce vecteur fait correspondre les points A et A’ après enroulement de la bande de graphène et définit donc la circonférence du tube. Dans la base (\vec{a_1} ,\vec{a_2}) le vecteur chiral s’écrit : \vec{C_h} = n\vec{a_1} + m\vec{a_2}

Les entiers n et m sont appelés indices chiraux ; tous les nanotubes qui ont le même vecteur chiral ont la même structure électronique et appartiennent à la même classe de chiralité définie par le couple unique (n,m). Les nanotubes que nous étudions sont suffisamment longs (au moins 100 nm) pour que les porteurs ne soient pas confinés dans la direction longitudinale et que leurs propriétés ne dépendent que de leur diamètre d qui s’exprime.en fonction des indices chiraux : d = \frac{a}{\pi}  \sqrt{n^2 + n.m + m^2} où a est la longueur de la liaison carbone-carbone. La cellule élémentaire d’un nanotube est définie par le vecteur \vec{C_h} et le vecteur translation \vec{T} qui relie deux sites identiques suivant l’axe du tube. Ses coordonnées dans la base (\vec{a_1} , \vec{a_2}) sont généralement notées (t_1 ; t_2) et d’après la définition de \vec{T} , les entiers t_1 et  t_2 n’ont pas de diviseur commun. t_1 = \frac{2m+n}{d_R} et t_2 = \frac{2n+m}{d_R} d_R est le plus grand diviseur commun (PGCD) de (2m + n) et (2n + m). On peut donc calculer le nombre 2N d’atomes de carbone contenu dans la cellule élémentaire : N = \frac{| \vec{C_h} \times \vec{T} |}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}=\frac{2(m^2 + n^2 + n.m)}{d_R}

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Dispersion du graphène.

Comme on peut le voir sur la figure, le graphène est un semi-métal, ou semi-conducteur à gap nul. En effet, ses bandes de conduction et de valence se touchent au points K de la première zone de Brillouin. L’ enroulement de la feuille de graphène pour constituer le nanotube entraîne l’apparition de nouvelles conditions aux limites périodiques dans l’espace réel. Dans l’espace réciproque, ceci entraîne une quantification du vecteur d’onde dans la direction du vecteur \vec{C_h} et donne "naissance" à 2N bandes d’énergie. En fait, la courbe de dispersion des niveaux électroniques du nanotube s’obtient en effectuant des coupes dans la dispersion de la feuille de graphène. On conçoit que suivant la façon dont se fait la coupe, qui est déterninée par la géométrie du tube, un gap sera ou non ouvert au niveau du point K. Un exemple est proposé ci-dessous pour deux nanotubes. Pour le nanotube (9,0) bandes de valence et de conduction se touchent et ce nanotube sera métallique, par contre il y a ouverture d’un gap pour le nanotube (10,0) qui lui sera semiconducteur.

De manière générale si 2n + m est un multiple de 3 (m-n multiple de 3) alors un nanotube (m,n) est métallique, sinon le nanotube est semi-conducteur.

Dans les nanotubes de carbone,en général, la densité d’états diverge en bas de bande. Ces singularités de la densité d’états sont appelées singularités de Van Hove. Elles constituent une caractéristique fondamentale des nanostructures unidimensionnelles (pour une bande de dispersion parabolique à une dimension, la densité d’états varie alors en 1/\sqrt{E}). Cependant, dans le cas particulier des nanotubes métalliques sur un intervalle centré sur le niveau de Fermi la densité d’états est non nulle et constante.

Dans l’approximation d’une dispersion linéaire du graphène (la plus simple), les énergies de bas de bande pour tout nanotube s’écrivent E_i = i.a.\gamma_0/\sqrt{3}d où i est un entier non nul et \gamma_0 l’intégrale de recouvrement entre deux carbones voisins :

– pour les nanotubes semiconducteurs, les singularités de Van Hove correspondent à i = 1, 2, 4, 5, 7 . . . (non multiple de 3).

– pour les tubes métalliques, les valeurs de i sont les multiples de 3.

Les densités d’états des nanotubes métalliques et semiconducteurs sont schématisées ci-dessous :

Dans les nanotubes semiconducteurs, on note généralement S_1_1, S_2_2, S_3_3 etc. les écarts d’énergie entre premières, deuxièmes et troisièmes paires de singularités de Van Hove entre sous-bande de valence et de bande de conduction de même indice. Dans les nanotubes métalliques ces écarts se notent M_1_1, M_2_2, etc. Dans l’approximation linéaire il y a des relations simples entre ces écarts d’énergie, puisque qu’ils varient tous comme l’inverse du diamètre d du nanotube : pour un nanotube semiconducteur on a S_2_2 = 2S_1_1, S_3_3 = 4S_1_1 etc. Pour des nanotubes semiconducteur et métalliques de diamètre très proches :M_1_1 = 3S_1_1.

En réalité il n’est pas possible de négliger l’effet de la courbure des bandes \pi du graphène, même pour les bandes les plus proches du niveau de Fermi. Cet effet de ”trigonal warping”, entraîne une dépendance plus complexe des énergies S_1_1, S_2_2, M_1_1 avec le diamètre qui se superpose à la variation en 1/d comme on peut le voir sur la figure où sont représentés les écarts d’énergie entre paires de singularités pour tous les nanotubes dont le diamètre est compris entre 0,5 et 1,5 nm.

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